En este trabajo sobre las ecuaciones vamos a reseñar diferentes aspectos donde
examinaremos estas operaciones matemáticas su sus formas más sencillas.
Es a partir de la Segunda mitad del siglo VXII y
siguientes donde surge el desarrollo de esta importante disciplina de las ciencias exactas, y definimos el termino ecuación como
una igualdad en la que hay una o varias cantidades
desconocidas llamadas incógnitas y que solo se verifica o es verdadera para
determinados valores de las incógnitas, las cuales se representan por
las últimas letras del alfabeto x, y, z x u v.
Destacándose para la época los matemáticos mas importantes y sobresalientes como Isaac Newton, Galilei Galileo, Sócrates Descartes y otros más.
Por esto en este contenido del presente trabajo
sobre las ecuaciones vamos a ver el término ecuación sus diferentes
definiciones, clasificación, su importancia y su aplicación en la vida diaria.
Para esta facilitación hemos recopilado datos en diferentes fuentes tales como Algebra de Aurelio Baldor, Diccionario Enciclopédico Náutico Mayor "http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuasi%C3%B3nFolleto, Matemática Propedéutica.
LA ECUACIÓN
Definiciones:
Ecuación es una
igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas
y que solo se verifica o es verdadera para determinados valores de las
incógnitas, las cuales se representan por las últimas letras del alfabeto x, y,
z x u v. Una ecuación es una igualdad que contiene una o más incógnitas.
Ecuación: igualdad que
solo se cumple para ciertos valores de la variable o variables desconocidas (incógnitas) que entran en ella.
Pueden ser de una o de varias incógnitas; estas pueden tener un número infinito
(- determinado) o infinito (-indeterminado), de valores numéricos (raíces)
Ecuación Algebraica: Es
la que se representa en forma polinómica, su grado viene determinado por el
exponente que afecta a la incógnita en el polinomio. Aquella que expresa la
relación entre una o varias variables sus funciones o sus derivados.
Ecuación Química; Es
la representación de una relación química
Ecuación Astronómica diferencia
que hay entre el lugar o movimiento medio y el verdadero o aparente de un astro.
Ecuación. Igualdad entre
dos expresiones matemáticas, sin importar el valor que tomen las variables implicadas en cada
expresión (denominados miembros de la ecuación, el primer
miembro es el que aparece antes del signo de igualdad, y el segundo
miembro es el que aparece en segundo lugar, aunque es perfectamente
válido permutarlos).
En muchos problemas matemáticos, la condición del problema se
expresa en forma de ecuación algebraica; se llama solución de la
ecuación a cualquier valor de las variables de la ecuación que cumpla
la igualdad; es decir, a cualquier elemento del conjunto de números o
elementos, sobre el que se plantea la ecuación, que cumpla la condición de
satisfacer la ecuación. Al igual que en otros problemas matemáticos, es posible
que ningún valor de la incógnita haga cierta la igualdad. También puede que
todo valor posible de la incógnita valga. Estas últimas expresiones se llaman
identidades. Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos
expresiones, se denominará inecuación.
Clasificación De Las Ecuaciones.
Las ecuaciones se pueden clasificar de varias
formas:
·
a) Por el número de incógnitas. Las ecuaciones
pueden tener una o más incógnitas. Por ejemplo la ecuación 3x + 4 = 10, sólo
tiene una incógnita, la ecuación 3x - y = 5, tiene dos y 5xy - 3x2 + z = 8
tiene tres incógnitas. Las ecuaciones con una incógnita se pueden imaginar cómo
puntos sobre el eje x. Las de dos incógnitas como curvas en un plano. Las de
tres incógnitas como curvas en un espacio de tres dimensiones.
b) Por el grado de la
incógnita. Las ecuaciones de una incógnita se pueden clasificar por el
grado de la incógnita (el grado es el exponente más alto de la incógnita).
Hay fórmulas generales para resolver las ecuaciones
de grado 1 a 4 (pero las fórmulas son complicadas y difíciles de recordar para
grado mayor que 2). Si no se puede descomponer la ecuación en factores, cualquier
ecuación, sea del grado que sea, se puede resolver de esta forma:
Utilizando estas ecuaciones, tendríamos un sistema de ecuaciones que nos permitiría obtener las soluciones.
c) Por el número de términos: c1) Ecuaciones binomios: Las ecuaciones con dos términos se llaman ecuaciones binomios.
Llamándolas en función del número de términos, se suelen llamar poli nómicas.
¿Cómo se resuelven las ecuaciones?
Lo primero que hay que saber es que toda ecuación
algebraica de grado n con coeficientes reales o complejos tiene al menos una
raíz real o compleja. Este enunciado es el teorema fundamental del álgebra. D' Alembert fue el primer matemático que dio una
demostración, pero no era completa. Se considera a Gauss como el primer
matemático que dio una demostración rigurosa.
a) Ecuaciones de primer grado y una incógnita
Las ecuaciones de la forma ax + b = 0 son muy
sencillas de resolver, basta con despejar la x. Despejar la x significa dejar
la x sola a un lado del signo igual. Para pasar un número, o una variable, al
otro lado del signo igual tenemos que seguir estas reglas:
·
-Si está sumando pasa restando y si está restando
pasa sumando. En nuestro caso quedaría ax = -b
·
Si está multiplicando pasa dividiendo y si está
dividiendo pasa multiplicando. En nuestro caso x = -b/a.
b) Ecuaciones de segundo grado y una incógnita
Las ecuaciones de la forma ax2 + bx - c = 0,
también son muy sencillas de resolver. Basta aplicar la siguiente fórmula:
Obtendremos dos soluciones, una cuando sumamos a -b
la raíz y lo dividimos por 2a, y otra solución cuando restamos a -b la raíz y
lo dividimos por 2a.
c) Ecuaciones de tercer grado y una incógnita
Aunque hay fórmula para resolver las ecuaciones de
tercer grado, no merece la pena aprenderse la fórmula, pues hay otros métodos de resolver la ecuación de una forma más cómoda.
Sin embargo, vamos a ver cómo se resuelve un tipo concreto de ecuaciones de tercer grado, las del tipo x3 +
mx = n (por supuesto si la ecuación aparece 'disfrazada' de esta forma ax3 + bx
+ c = 0, se puede convertir en la forma anterior, dividiendo todos los términos
por a, m = b/a y n = -c/a)
El método para resolver estas ecuaciones se llama método de Cardano,
pues se atribuye a Girolamo Cardano (1501-1576) su
descubrimiento.
El método es el siguiente:
Las ecuaciones de este tipo son famosas y los
profesores suelen ponerlas en los exámenes. Quedareis muy bien si además citáis
el libro en que apareció por primera vez y el autor (Libro:
Ars Magna. Autor: Girolamo Cardano).
d) Ecuaciones de cualquier grado y una incógnita
El método más frecuente de resolver ecuaciones de
grado superior a 2 es descomponer la ecuación en factores (dividiendo la
ecuación por los posibles divisores), con lo que, si tenemos suerte, la
ecuación se reduce a un producto de otras ecuaciones de grado menor que ya
podemos resolver por las fórmulas anteriores.
A veces nos ponen una ecuación de segundo grado
"disfrazada". Lo veréis con un ejemplo: 3x4 + 2x2 - 5 = 0. En esta
ecuación si hacemos el cambio de variable x2 = t, nos queda 3t2 + 2t - 5 = 0. En
este caso, hacéis el cambio de variable, resolvéis la ecuación de segundo grado
y después despejáis la x (calculando la raíz cuadrada del valor que hemos
obtenido para t).
Si ninguno de los métodos anteriores os da
resultado, sorprenderéis a vuestro profesor resolviendo la ecuación por este método:
Utilizando estas ecuaciones, tendríamos un sistema
de ecuaciones que nos permitiría obtener las soluciones.
Ecuaciones Diferenciales
Las ecuaciones que has encontrado hasta ahora
responden en su mayor parte a la necesidad de obtener los valores numéricos de ciertas magnitudes. Cuando, por
ejemplo, al buscar los máximos y los mínimos de funciones se resolvía una
ecuación y se encontraban los puntos para los cuales se anulaba la velocidad de variación de una función, o cuando se
considera el problema de hallar las raíces de un polinomio, se trata siempre de
hallar números concretos.
Pero en las aplicaciones de las matemáticas surgen
a menudo problemas de una clase cualitativamente diferente: problemas en los que la
incógnita es a su vez una función, es decir, una ley que expresa la dependencia de ciertas variables
respecto de otras. Por ejemplo, al investigar el proceso de enfriamiento de un cuerpo hay que determinar
cómo varía la temperatura en el transcurso del tiempo; para describir el movimiento de un planeta o de una
estrella o de una partícula cualquiera debe determinarse la dependencia de sus
coordenadas con respecto al tiempo, etc.
Con frecuencia es posible plantear una ecuación que
permite encontrar las funciones desconocidas pedidas, y estas ecuaciones
reciben el nombre de ecuaciones funcionales. Su naturaleza puede ser, en general, muy diversa; de hecho
podemos decir que ya conocemos el ejemplo más sencillo y primitivo de una
ecuación funcional: las funciones implícitas.
La clase más importante de ecuaciones funcionales
son las ecuaciones diferenciales; esto es, ecuaciones en las que
además de la función desconocida aparecen también algunas de sus derivadas de diversos ordenes.
La enorme importancia de las ecuaciones
diferenciales en las matemáticas, y especialmente en sus aplicaciones, se debe
principalmente al hecho de que la investigación de muchos problemas de ciencia y tecnología puede reducirse a la solución de
tales ecuaciones. Los cálculos que requiere la construcción de maquinaria eléctrica o de dispositivos
radiotécnicos, el cálculo de trayectorias de proyectiles, la investigación de la estabilidad de aeronaves en vuelo o
del curso de una reacción química, todo ello depende de la solución de
ecuaciones diferenciales.
Sucede con frecuencia que las leyes físicas que gobiernan un fenómeno se escriben en
forma de ecuaciones diferenciales, por lo que éstas, en sí, constituyen una
expresión cuantitativa de dichas leyes: por ejemplo las leyes de conservación
de la masa y de la energía térmica, las leyes de la mecánica, etc., se expresan en forma de ecuaciones
diferenciales.
La teoría de las ecuaciones diferenciales comenzó a
desarrollarse a finales del siglo XVII, casi simultáneamente con la aparición
del Cálculo diferencial e integral. En el momento actual, las ecuaciones
diferenciales se han convertido en una herramienta poderosa para la
investigación de los fenómenos naturales.
En la Mecánica, la Astronomía, la Física y
la Tecnología han sido causa de enorme progreso. Del estudio
de las ecuaciones diferenciales del movimiento de los cuerpos celestes dedujo
Newton las leyes del movimiento planetario descubiertas empíricamente por
Kepler. En 1846 Le Verrier predijo la existencia del planeta Neptuno y
determinó su posición en el cielo basándose en el análisis numérico de esas mismas ecuaciones.
Historia De Las Ecuaciones Lineales.
La primera fase, que comprende el periodo de 1700
a. de C. a 1700 d. de C., se caracterizó por la invención gradual de símbolos y la resolución de ecuaciones. Dentro de esta
fase encontramos un álgebra desarrollada por los griegos (300 a. de C.),
llamada álgebra geométrica, rica en métodos geométricos para
resolver ecuaciones algebraicas.
La introducción de la notación simbólica asociada a Viète
(1540-1603), marca el inicio de una nueva etapa en la cual Descartes
(1596-1650) contribuye de forma importante al desarrollo de dicha notación. En
este momento, el álgebra se convierte en la ciencia de los cálculos simbólicos y de las
ecuaciones. Posteriormente, Euler (1707-1783) la define como la teoría de los
"cálculos con cantidades de distintas clases" (cálculos con números
racionales enteros, fracciones ordinarias, raíces cuadradas y cúbicas,
progresiones y todo tipo de ecuaciones).Para llegar al actual proceso de
resolución de la ecuación ax + b = c han pasado
más de 3.000 años.
Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo
en el de Rhid -1.650 a. de C- y el de Moscú -1.850 a, de C.-) multitud de
problemas matemáticos resueltos. La mayoría de ellos son de tipo aritmético y
respondían a situaciones concretas de la vida diaria; sin embargo, encontramos
algunos que podemos clasificar como algebraicos, pues no se refiere a ningún
objeto concreto.
En éstos, de una forma retórica, obtenían una
solución realizando operaciones con los datos de forma análoga a como hoy
resolvemos dichas ecuaciones.
Las ecuaciones más utilizadas por los egipcios eran
de la forma:
x + ax =b
x + ax + bx = 0
donde a, b y c eran
números conocidos y x la incógnita que ellos
denominaban aha o montón.
Una ecuación lineal que aparece en el papiro de
Rhid, responde al problema siguiente:
"Un montón y un séptimo del mismo es igual a
24".
En notación moderna, la ecuación sería:
x + 1 / 7 x = 24. La solución la obtenía por un
método que hoy conocemos con el nombre de "método de la falsa
posición" o "regula falsi". Consiste en tomar un valor concreto
para la incógnita, probamos con él y si se verifica la igualdad ya tenemos la
solución, si no, mediante cálculos obtendremos la solución exacta.
Supongamos que fuera 7 la
solución, al sustituir en la x nos daría: 7
+ 1/7 · 7 = 8 , y como nuestra solución es 24 , es
decir, 8·3 , la solución es 21 = 3 · 7 , ya
que 3 · (7 + 1/7 - 7) = 24.
Generalmente, el cálculo de la solución correcta no
era tan fácil como en este caso e implicaba numerosas operaciones con
fracciones unitarias (fracciones con numerador la unidad), cuyo uso dominaban
los egipcios. En cuanto el simbolismo, solamente en algunas ocasiones
utilizaban el dibujo de un par de piernas andando en dirección de la escritura o invertidas, para representar la suma y resta,
respectivamente. Los babilonios (el mayor número de documentos corresponde
al periodo 600 a. de C. a 300 d. de C.) casi no le prestaron atención a las ecuaciones lineales, quizás por
considerarlas demasiado elementales, y trabajaron más los sistemas de ecuaciones lineales y las ecuaciones de
segundo grado.
Entre las pocas que aparecen, tenemos la ecuación 5x
= 8 . En las tablas en base sexagesimal hallaban el recíproco de cinco
que era 12/60 y en la tabla de multiplicar por 8 ,
encontramos 8 · 12/60 = 1 36/60 Los matemáticos griegos no
tuvieron problemas con las ecuaciones lineales y, exceptuando a Diophante (250
d. de C.), no se dedicaron mucho al álgebra, pues su preocupación era como
hemos visto, mayor por la geometría. Sobre la vida de Diophante aparece en los siglos V
o VI un epigrama algebraico que constituye una ecuación lineal y dice:
|
"Transeúnte, ésta es la tumba
de Diophante: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su juventud ocupó su sexta parte, después durante la
doceava parte su mejilla se cubrió con el primer vello. Pasó aún una séptima
parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un
precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció
de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle,
llorándole durante cuatro años. De todo esto, deduce su edad.
"
|
Historia de los Sistemas de Ecuaciones Lineales
Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya
resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras
tales como longitud, anchura, área, o volumen, sin que tuvieran
relación con problemas de medida.
Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica
plantea la resolución de un sistema de ecuaciones en los siguientes términos:
1/4 anchura + longitud = 7 manos
longitud + anchura = 10 manos
Para resolverlo comienzan asignando el valor 5
a una mano y observaban que la solución podía
ser: anchura = 20, longitud = 30 . Para comprobarlo utilizaban
un método parecido al de eliminación. En nuestra notación, sería:
y + 4x = 28
y + x = 10
Restando la segunda de la primera, se obtiene 3x
= 18 , es decir, x = 6 e y = 4 .
3x/3 = 18/3 x = 6
También resolvían sistemas de ecuaciones, donde
alguna de ellas era cuadrática.
Los griegos también resolvían algunos sistemas de
ecuaciones, pero uti1izando métodos geométricos. Thymaridas (400 a. de C.)
había encontrado una fórmula para resolver un determinado sistema de n
ecuaciones con n incógnitas.
Diophante resuelve también problemas en los que
aparecían sistemas de ecuaciones, pero transformándolos en una ecuación lineal.
Diophante sólo aceptaba las soluciones positivas,
pues lo que buscaba era resolver problemas y no ecuaciones. Utilizó ya un
álgebra sincopada como hemos señalado anteriormente. Sin embargo, unas de las
dificultades que encontramos en la resolución de ecuaciones por Diophante es
que carece de un método general y utiliza en cada problema métodos a veces
excesivamente ingeniosos.
Los sistemas de ecuaciones aparecen también en los
documentos indios. No obstante, no llegan a obtener métodos generales de
resolución, sino que resuelven tipos especiales de ecuaciones.
El libro El arte matemático , de autor chino desconocido
(siglo III a. de C.), contiene algunos problemas donde se resuelven ecuaciones.
En ellos encontramos un esbozo del método de las matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Uno de dichos problemas equivale a resolver un sistema de tres ecuaciones
lineales por dicho método matricial.
Desarrollo Del Concepto
En una ecuación existen cantidades desconocidas
(incógnitas), que en general se designan por letras minúsculas de la parte
final del alfabeto: x, y, z y cantidades conocidas (coeficientes), que pueden
designarse por letras minúsculas iniciales del alfabeto: a, b, c. Lo anterior
lo introdujo el matemático René Descartes en 1637.
En la ecuación: ax + b = c
a, b y c son
coeficientes, x es la incógnita
En la ecuación 5z – 4 = 16
Los coeficientes son los enteros 5, 4, y 16 y la
incógnita es z.
Llamaremos raíces o soluciones de la ecuación a los
valores de las incógnitas que cumplen la igualdad.
Ejemplos:
Si voy al Correo con $500 y quiero despachar 3 cartas (franqueo nacional: $150) ¿qué vuelto recibiré? Si
v representa el valor del vuelto, éste tiene que cumplir:
500 = 3 x 150 + v
En la ecuación anterior v es la incógnita y el
valor v = 50 es la solución.
Clasificación De Las Ecuaciones Con Una Incógnita:
Las ecuaciones se catalogan según el exponente o potencia más alto que tenga la incógnita. Así,
6x + 34 = 5 es una ecuación de primer grado.
8x2 + 7x +45 = 3 es una ecuación de segundo grado.
4 x3 + 35 x2 –3x + 2 =7 es una ecuación de tercer
grado.
Resolver una ecuación es encontrar el o los valores
de la incógnita que satisface la igualdad. Por ejemplo la ecuación:
500 = 450 + v (el caso del vuelto)
se satisface para
v = 50
Luego el vuelto de franquear 3 cartas con $500 es
$50.
Una Ecuación Funcional es una
ecuación en la que las constantes y variables que intervienen no son números
reales sino funciones. Si en la ecuación aparece algún operador diferencial se
llaman ecuaciones diferenciales.
Cómo Resolver Una Ecuación De Primer Grado
Para la resolución de ecuaciones de primer grado
podríamos definir un esquema con los pasos necesarios. Para empezar
realizaremos una ecuación de primer grado sencilla:
9x - 9 + 108x - 6x - 92 = 16x + 28 + 396
Nuestro objetivo principal es dejar sola la x en uno de los
términos, el izquierdo o el derecho.
1- Transposición: Lo primero que
debemos hacer es colocar los términos con X en un lado, y los números en otro.
Para ello, podemos ver que hay algunos números que tendremos que pasar al otro
término. Esto lo podemos hacer teniendo en cuenta que:
Si el número esté restando (Ej:
-6): Pasa al otro lado sumando (+6)
Si el número esté sumando (Ej:
+9): Pasa al otro lado restando (-9)
Si el número está multiplicando (Ej:
·2) Pasa al otro lado dividiendo (en forma fraccionaria) (n/2)
Si el número está dividiendo (en forma
fraccionaria) (Ej: n/5) Pasa al otro
lado multiplicando (·5)
Una vez hemos pasado todos los términos en nuestra
ecuación, ésta quedaría así:
9x + 108x - 6x - 16x = 28 + 396 + 9 + 92
Como podrás comprobar, todos los monomios con X han
quedado a la izquierda del signo igual, y todos los números enteros se han
quedado en la derecha.
2- Simplificación:
Nuestro siguiente objetivo es convertir nuestra
ecuación en otra equivalente más simple y corta, por lo que realizaremos la
operación de polinomios que se nos plantea.
Es decir: en nuestro caso, por un lado realizamos
la operación: 9x+108x-6x-16x Y por otro lado: 28+396+9+92
De forma que nuestra ecuación pasaría a ser ésta:
95x = 525
3- Despejar:
Ahora es cuando debemos cumplir nuestro objetivo
final, dejar la X completamente sola; para ello volveremos a recurrir a la
transposición.Es decir: en nuestra ecuación deberíamos pasar el 95 al otro
lado, y, como está multiplicando, pasa dividiendo (sin cambiar de signo):
x = 525 / 95
Comprueba que el ejercicio ya está teóricamente
resuelto, ya que tenemos una igualdad en la que nos dice que la x ocultaba el
número 525/95. Sin embargo, debemos simplificar esto.
Resolvemos la fracción (Numerador dividido entre
denominador) en caso de que el resultado diera exacto; si nos diera decimal,
simplificamos la fracción y ése es el resultado.
En nuestra ecuación, vemos que el resultado de la
fracción es decimal (525:95=5.5263157894737) por lo tanto x=525/95
Resolución De Ecuaciones De Primer Grado (Problema)
Pongamos el siguiente problema: número de canicas
que tengo más tres es igual al doble de las canicas que tengo menos 2. ¿Cuántas
canicas tengo? El primer paso para resolver este problema es expresar
el enunciado como una expresión algebraica:
x + 3 = 2x - 2
El enunciado está expresado, pero no podemos ver
claramente cuál es el valor de x; para ello se sigue este procedimiento:
x + 3 = 2x - 2
Primero se pasan todas las x al primer término y
los términos independientes al segundo. Para ello tenemos en cuenta que
cualquier expresión pasa al otro término haciendo la operación opuesta. Así
obtenemos:
x - 2x = - 2 -
3
Que, simplificado, resulta:
- x = - 5
Esta expresión nos lleva a una regla muy importante
del álgebra, que dice que si modificamos igualmente ambos términos de una
ecuación, el resultado es el mismo. Esto significa que podemos sumar, restar,
multiplicar, dividir, elevar y radicar los dos términos de la ecuación por el
mismo número, sin que ésta sufra cambios. En este caso, si multiplicamos ambos
términos por -1 obtendremos:
x = 5
El problema está resuelto
Todas las ecuaciones de segundo grado pueden tener
como mucho 2 soluciones válidas. Para la resolución de ecuaciones de segundo
grado tenemos que distinguir entre tres tipos distintos de ecuaciones:
-Ecuaciones de la forma ax2 + c =
0
Este tipo de ecuaciones son las más sencillas de
resolver, ya que se resuelven igual que las de primer grado. Tengamos por
ejemplo:
x2 - 16 = 0
Pasamos -16 al segundo término
x2 = 16
Ahora pasamos el exponente al segundo término,
haciendo la operación opuesta; en este caso, raíz cuadrada
La ecuación ya está resuelta
-Ecuaciones de la forma ax2 + bx =
0
Tengamos:
3x2 + 9x = 0
En este tipo de ecuaciones, lo primero que hacemos
es declarar x como factor común de ambas expresiones:
x(3x + 9) = 0
Esta expresión es una multiplicación cuyo resultado
es 0; por lo tanto, uno de los factores tiene que ser igual a 0. Así que, o el
primer factor (x) es igual a cero (ésta es la primera solución), o:
3x + 9 = 0
3x = - 9
Por lo tanto, las 2 soluciones válidas para esta
ecuación son 0 y -3
-Ecuaciones de la forma ax2 + bx + c = 0
Tengamos por ejemplo la ecuación:
x2 + 5x + 6
Para resolver este tipo de ecuaciones utilizamos
directamente la siguiente fórmula:
Por lo tanto, para resolver esta ecuación
sustituimos las letras por los números:
A partir de esta fórmula obtenemos que las
soluciones válidas para esta ecuación son -2 y -3
• Ecuación de segundo grado
• Ecuación de tercer grado
• Ecuación de cuarto grado
• Ecuación de quinto grado
• Ecuaciones con radicales
• Ecuación química
• Sistema de ecuaciones
La clase más importante de ecuaciones funcionales
son las ecuaciones diferenciales; esto es, ecuaciones en las que además de la
función desconocida aparecen también algunas de sus derivadas de diversos
ordenes.
La enorme importancia de las ecuaciones
diferenciales en las matemáticas, y especialmente en sus aplicaciones, se debe
principalmente al hecho de que la investigación de muchos problemas de ciencia y tecnología puede reducirse a la solución de
tales ecuaciones.
Los cálculos que requiere la construcción de
maquinaria eléctrica o de dispositivos radiotécnicos, el cálculo de
trayectorias de proyectiles, la investigación de la estabilidad de aeronaves en
vuelo, navegación o del curso de una reacción química, todo ello depende de la
solución de ecuaciones diferenciales.
Sobre El Aparato Matemático De La Mecánica.
Hemos citado ejemplos de aplicación del análisis matemático en la rama de los fenómenos
eléctricos y magnéticos al igual que en las teorías del calor y de las ondas. Con estos ejemplos, el problema, naturalmente, no se
agota.
Los métodos analíticos penetraron en muchas ramas
de las ciencias naturales, adquiriendo en ellas el significado de medios operativos resolutivos. Casi en primer lugar
penetraron en la mecánica, determinando su contenido. La mecánica analítica
adquirió su aspecto clásico precisamente como un estudio sobre las ecuaciones
diferenciales que expresan las propiedades de las trayectorias de cualquier
sistema mecánico.
Breve Comentario Sobre Algunos Valiosos Aportes De
Una Mujer Sorprendente.
Como es conocido, a lo largo de la historia de
las matemáticas, hasta el siglo XIX fueron pocas las mujeres que se dedicaron
de una forma u otra a la profundización del conocimiento científico, pues no se les era permitido por el
simple hecho de ser mujer. A mediados del propio siglo XIX justamente en el año
1850 nació en Moscú Sofía Vasilievna Kovalevskaya quien además de ser la
primera mujer en el mundo profesor de matemáticas, brindó una gran ayuda para
el desarrollo de la teoría de las ecuaciones en derivadas parciales. Según se
conoce, los teoremas de existencia tuvieron en la historia de las ecuaciones
diferenciales un doble significado. Resolvían la cuestión sobre el rigor y la
validez de su aplicación y al mismo tiempo, los métodos brindaban la base para
la elaboración de los métodos de integración numérica de las ecuaciones diferenciales.
Esta facilitación de Matemática Propedéutica y que
en esta ocasión hemos tomado el tema sobre las ecuaciones ha sido para
recordar, y retroalimentarnos con esos conocimientos que habíamos adquirido y
que ya habíamos olvidado,
Por esto ha sido tan importante volver a
practicarlos y debemos profundizar aun mas en esta importante materia a través de las personalidades que se encargaron
de enriquecerla y dejarnos sus aportes para nuestros conocimientos y su
aplicación.
El análisis matemático en el siglo XVIII se
enriqueció con el potente y variado aparato del desarrollo de funciones en
series de diferentes tipos. Este aparato fue creado bajo la influencia directa
de los problemas de la física matemática. La construcción de una teoría de
series lo suficientemente general y rigurosa se convirtió hacia finales de
siglo en un problema de primera línea, de cuya solución dependían los éxitos
prácticos del análisis matemático.
Las reglas de diferenciación en su gran mayoría
fueron elaboradas ya en los trabajos de Leibniz y los hermanos Bernoulli. La ampliación de estas reglas en relación con la
ampliación de la clase de funciones investigadas no presentaba dificultades
importantes.
Así, tras la expresión analítica de las funciones trigonométricas, exponenciales y otras clases de
funciones, fueron inmediatamente obtenidas las expresiones analíticas de sus
derivadas.
Así vemos como las ecuaciones, su aplicación e
importancia en la vida diaria son utilizadas de manera general en lo que es la
investigación de diferentes problemas de ciencia y tecnología puede reducirse a
la solución de tales ecuaciones.
Los cálculos que requiere la construcción de
maquinaria eléctrica o de dispositivos radiotécnicos, el cálculo de
trayectorias de proyectiles, la investigación de la estabilidad de aeronaves en
vuelo la navegación o del curso de una reacción química, todo ello depende de
la solución de ecuaciones diferenciales.
